PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria · incidencias
Pregunta 1: taller de carpintería: beneficio máximo con sillas y mesas y un sistema con estanterías
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- a)12 sillas y 3 mesas, con 780 € de beneficio: el máximo de 40x + 100y está en el vértice (12, 3).
- b)No es posible: el sistema es incompatible, porque con x = 4y la primera ecuación queda 5y + z = 100 y choca con 5y + z = 90.
Pregunta 1
Un taller de carpintería especializado en muebles de comedor fabrica sillas y mesas. Para ampliar el negocio la dueña se está planteando fabricar otros muebles, como estanterías, pero esta ampliación aún no se ha efectuado y antes de considerarlo quiere utilizar sus recursos de la mejor manera posible.
- a)Se sabe que cada silla necesita 1 hora de trabajo especializado y cada mesa 4 horas de trabajo especializado. El taller solo tiene dos trabajadores especializados, que pueden dedicar un máximo de 24 horas semanales entre los dos a este tipo de trabajo. Además, por cada mesa hay que fabricar al menos 2 sillas, y entre sillas y mesas no se pueden fabricar cada semana más de 15 unidades. Si por cada silla obtiene un beneficio neto de 40 euros y por cada mesa de 100 euros, ¿cuántas sillas y mesas debe fabricar a la semana para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál será el beneficio semanal obtenido? (1,5 p)
- b)Supongamos que además de sillas y mesas decide fabricar estanterías. Ahora se plantea nuevas condiciones: entre los tres productos quiere fabricar exactamente 100 a la semana; por cada mesa debe fabricar exactamente 4 sillas; y los trabajadores le piden que 5 veces el número de mesas más el número de estanterías sea de exactamente 90 unidades. ¿Podría decirle a la dueña del taller, de forma justificada, si es posible fabricar en una semana un número de sillas, mesas y estanterías que cumpla los requerimientos anteriores? (1 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Ordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Definición de las variables y expresión correcta de la función objetivo0,25
- 02a) Determinación correcta de las restricciones0,5
- 03a) Representación correcta de la región factible y cálculo de los vértices0,5
- 04a) Obtención correcta de la solución contextualizada0,25
- 05b) Planteamiento correcto del sistema de ecuaciones0,5
- 06b) Justificación de la imposibilidad de cumplir las condiciones0,5
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cómo se traduce cada condición?
Llama x a las sillas e y a las mesas y traduce cada frase del apartado a) a una inecuación; la de «por cada mesa, al menos 2 sillas» compruébala con un caso concreto, como fabricar 1 mesa.
Pista 2 · ¿Tiene solución el sistema del apartado b?
En b) añade una tercera incógnita para las estanterías, escribe las tres condiciones como ecuaciones y estudia los rangos antes de intentar resolver.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Define las variables y la función objetivoTribunal: definición de las variables y expresión correcta de la función objetivo0,25
Sea x el número de sillas e y el número de mesas que se fabrican a la semana. Cada silla deja 40 € y cada mesa 100 €, así que el beneficio semanal es B(x, y) = 40x + 100y euros, y es lo que hay que maximizar. Deja escrito qué representa cada letra: esa definición forma parte de los puntos.
02a · Escribe las restriccionesTribunal: determinación correcta de las restricciones0,5
Horas de trabajo especializado: 1 por silla y 4 por mesa, como mucho 24, así que x + 4y ≤ 24. Por cada mesa, al menos 2 sillas: el número de sillas es como mínimo el doble del de mesas, x ≥ 2y, es decir, x − 2y ≥ 0. Como mucho 15 unidades entre las dos: x + y ≤ 15. Y no se fabrican cantidades negativas: x ≥ 0, y ≥ 0.
03a · Dibuja la región factible y calcula sus vérticesTribunal: representación correcta de la región factible y cálculo de los vértices0,5
Dibuja las rectas frontera: x + 4y = 24 pasa por (0, 6) y (24, 0); x = 2y pasa por el origen y por (8, 4); x + y = 15 pasa por (0, 15) y (15, 0). La región queda por debajo de x + 4y = 24 y de x + y = 15, por debajo de la recta y = x/2 y por encima del eje x: es un cuadrilátero. Sus vértices son el origen (0, 0); (15, 0), donde x + y = 15 corta al eje; (12, 3), donde x + y = 15 corta a x + 4y = 24 (restando, 3y = 9); y (8, 4), donde x + 4y = 24 corta a x = 2y (6y = 24). Comprueba que cada vértice cumple las restricciones que no lo definen: por ejemplo, (12, 3) cumple 12 ≥ 2·3.
04a · Evalúa el beneficio en los vértices y contesta en contextoTribunal: obtención correcta de la solución contextualizada0,25
La región está acotada, así que el máximo se alcanza en un vértice. B(0, 0) = 0, B(15, 0) = 600, B(12, 3) = 480 + 300 = 780 y B(8, 4) = 320 + 400 = 720. El máximo está en (12, 3), que además son números enteros, como deben serlo sillas y mesas. Contesta en contexto: hay que fabricar 12 sillas y 3 mesas a la semana, y el beneficio semanal es de 780 €.
05b · Plantea el sistema de ecuacionesTribunal: planteamiento correcto del sistema de ecuaciones0,5
Ahora hay tres incógnitas: x sillas, y mesas y z estanterías a la semana. Exactamente 100 productos entre los tres: x + y + z = 100. Exactamente 4 sillas por mesa: x = 4y, es decir, x − 4y = 0. Cinco veces las mesas más las estanterías suman exactamente 90: 5y + z = 90.
06b · Justifica que no se pueden cumplir las tres condicionesTribunal: justificación de la imposibilidad de cumplir las condiciones0,5
La matriz de coeficientes, de filas (1, 1, 1), (1, −4, 0) y (0, 5, 1), tiene determinante 0, y el menor formado por las dos primeras filas y columnas vale −5 ≠ 0: rg A = 2. En la ampliada, el menor con las columnas de x, y y los términos independientes vale 50 ≠ 0: rg A* = 3. Como rg A ≠ rg A*, el sistema es incompatible. Se ve también sin determinantes: con x = 4y, la primera ecuación pasa a 5y + z = 100, que contradice 5y + z = 90. La respuesta a la dueña es que no: ninguna producción semanal cumple las tres condiciones a la vez.
Error típico
Escribir al revés «al menos 2 sillas por mesa»
Lo que se suele escribir: y ≥ 2x. Lo correcto: x ≥ 2y
Al traducir «por cada mesa hay que fabricar al menos 2 sillas» es fácil poner el 2 del lado equivocado, como si hiciera falta el doble de mesas que de sillas. Si fabricas 1 mesa necesitas 2 sillas o más: el número de sillas es el que tiene que ser grande. Con la restricción al revés la región cambia y el óptimo deja de ser (12, 3); prueba la inecuación con un caso concreto antes de dibujar.
Cuesta los puntos de «determinación correcta de las restricciones»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Ordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.