PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Extraordinaria
Pregunta 2.2: región factible, vértices y máximo de 2y − 3x
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- a)vértices (−6, 0), (6, 0), (4, 2), (−4, 4) y (−6, 2): son los cortes de las rectas del borde que cumplen todas las restricciones.
- b)máximo 22 en (−6, 2): en esos vértices, por orden, 2y − 3x vale 18, −18, −8, 20 y 22.
Pregunta 2.2
Sean x e y dos números reales tales que x ≥ −6, y ≥ 0, −x + y ≤ 8, x + 4y ≤ 12 y x + y ≤ 6.
- a)Represente gráficamente la región S determinada por las restricciones y calcule las coordenadas de sus vértices. (2 p)
- b)Se desea maximizar el doble de y menos el triple de x en S. Indique el valor máximo y el punto de la región en el cual se alcanza. (0,5 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: cálculo de las coordenadas de los vértices y representación de la región.
- 01a) Representación de la región0,75
- 02a) Cálculo de las coordenadas de los vértices1,25
- 03b) Cálculo del valor de la función en los vértices0,25
- 04b) Obtención del valor máximo y el punto en el que se alcanza0,25
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿De qué lado de cada recta está S?
Escribe cada inecuación como recta y prueba con un punto fuera de ella de qué lado queda la región antes de sombrear.
Pista 2 · ¿Qué función hay que maximizar?
Para b), traduce la frase del enunciado a una función de x e y y evalúala en los vértices que has calculado en a).
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Dibuja las cinco rectas y sombrea la región STribunal: representación de la región0,75
Convierte cada inecuación en su recta frontera: x = −6 (vertical), y = 0 (el eje horizontal), y = x + 8, x + 4y = 12 (pasa por (0, 3) y (12, 0)) y x + y = 6 (pasa por (0, 6) y (6, 0)). Para saber qué lado vale, prueba un punto fuera de la recta: el origen sirve para las otras cuatro (0 ≥ −6, 0 ≤ 8, 0 ≤ 12 y 0 ≤ 6 se cumplen), así que S queda a la derecha de x = −6 y por debajo de las otras tres. El origen está sobre y = 0 y no decide nada: y ≥ 0 ya dice que es el semiplano de arriba (o prueba (0, 1): 1 ≥ 0). Sale un pentágono cerrado: sombréalo y rotula cada recta.
02a · Calcula los vértices cortando rectas consecutivasTribunal: cálculo de las coordenadas de los vértices1,25
Recorre el borde y corta cada recta con la siguiente. x = −6 con y = 0 da (−6, 0); x = −6 con −x + y = 8 da y = 2, (−6, 2); −x + y = 8 con x + 4y = 12 da (−4, 4); x + 4y = 12 con x + y = 6 da 3y = 6, (4, 2); x + y = 6 con y = 0 da (6, 0). Comprueba que los cinco cumplen todas las restricciones. Otros cortes, como (12, 0) o (−1, 7), incumplen alguna y no son vértices de S.
03b · Evalúa 2y − 3x en cada vérticeTribunal: cálculo del valor de la función en los vértices0,25
«El doble de y menos el triple de x» es la función f(x, y) = 2y − 3x. En los vértices vale: f(−6, 0) = 18, f(−6, 2) = 22, f(−4, 4) = 20, f(4, 2) = −8 y f(6, 0) = −18. Como S es un polígono cerrado, el máximo está en uno de sus vértices.
04b · Da el valor máximo y el punto donde se alcanzaTribunal: obtención del valor máximo y el punto en el que se alcanza0,25
El mayor de los cinco valores es 22, en el vértice (−6, 2). Es el único punto donde se alcanza: el siguiente valor, 20, es menor. Escribe las dos cosas: el valor máximo es 22 y se alcanza en (−6, 2).
Error típico
Dar por vértice un corte que queda fuera de la región
Lo que se suele escribir: vértice (12, 0). Lo correcto: vértice (6, 0)
Al buscar vértices es tentador cortar las rectas dos a dos y dar por bueno todo lo que sale. Pero x + 4y = 12 corta al eje horizontal en (12, 0), y ese punto incumple x + y ≤ 6: queda fuera de S. Lo mismo pasa con (−1, 7), corte de −x + y = 8 y x + y = 6, que incumple x + 4y ≤ 12. Un vértice tiene que cumplir las cinco restricciones: comprueba cada candidato antes de darlo y antes de evaluar la función en él.
Cuesta los puntos de «cálculo de las coordenadas de los vértices»: 1,25 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.2 o la 2.1.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 5.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.