PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Extraordinaria
Pregunta 1: sobrecalentamiento del P25: aproximación normal e intervalo para una proporción
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- a)P(Y ≥ 11) ≈ 0,0228: Y ~ B(288; 0,02) se aproxima por N(5,76; 2,38) y, corregida por continuidad, da P(Z ≥ 1,995).
- b)El intervalo al 99 % es (0,0309; 0,1080), con p̂ = 20/288, z_(α/2) = 2,575 y error E ≈ 0,0386, y sí, el 2 % queda fuera del intervalo: el comunicado es cuestionable.
Pregunta 1
La empresa tecnológica Pear acaba de lanzar la nueva versión para 2025 de su smartphone insignia, el P25. En la red social Rettiwt se ha generado una alta expectación y los primeros compradores del P25 han comenzado a publicar fotos con sus dispositivos y sus opiniones. La mayoría de estas opiniones son positivas, pero hay una minoría de usuarios que reporta un calentamiento excesivo del P25 que genera en pantalla el mensaje de aviso «El P25 necesita enfriarse para poder usarlo». Con el objetivo de recabar más información para su próximo vídeo, el youtuber @solo_reviews ha abierto un hilo para solicitar a los compradores verificados del P25 que reporten si han experimentado o no sobrecalentamiento repentino en sus smartphones, entendiendo este como el que origina el aviso en condiciones normales de uso. Un total de 288 compradores verificados responden en el hilo, de los cuales 20 reportan haber visto el mensaje de enfriamiento necesario en condiciones de uso normales. Dado el perfil de los seguidores de @solo_reviews, se asume que esta es una muestra aleatoria simple. Ante el ruido generado en las redes sociales, la empresa Pear lanza el siguiente comunicado en Rettiwt: «En Pear aclaramos: no hay problemas generalizados en nuestro nuevo P25. El sobrecalentamiento afecta al 2 % de dispositivos al estar exclusivamente limitado a un lote defectuoso de un proveedor. Estamos contactando a los clientes afectados para ofrecer una solución inmediata. #PearSupport #P25»
- a)Asumiendo que el comunicado de Pear es cierto, calcule, aproximando por la distribución normal adecuada, la probabilidad de que el número de smartphones defectuosos reportados en el hilo de @solo_reviews hubiese sido superior o igual a 11. (1,25 p)
- b)Obtenga un intervalo del 99 % de confianza para la proporción de smartphones defectuosos a partir del hilo de @solo_reviews. ¿Es cuestionable la veracidad del comunicado de Pear? (1,25 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Aproximación correcta y justificada a la distribución normal0,75
- 02a) Cálculo correcto de la probabilidad pedida0,5
- 03b) Determinación del valor z_(α/2)0,25
- 04b) Aplicación de la fórmula del error y obtención del mismo0,5
- 05b) Determinación correcta del intervalo de confianza0,25
- 06b) Justificación correcta sobre la veracidad del comunicado de Pear0,25
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué distribución sigue el número de avisos?
En a), el número de compradores que reportan el aviso sigue una binomial: comprueba np y nq antes de pasar a la normal y no olvides la corrección por continuidad.
Pista 2 · ¿Qué proporción usar en el intervalo?
En b), el intervalo se construye con la proporción del hilo, no con la del comunicado; después mira si la del comunicado cae dentro.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Justifica la aproximación por la normalTribunal: aproximación correcta y justificada a la distribución normal0,75
Y = «número de compradores, de los 288 del hilo, que reportan el aviso». Si el comunicado es cierto, cada uno lo reporta con probabilidad p = 0,02 de forma independiente, así que Y ~ B(288; 0,02). Como np = 288·0,02 = 5,76 > 5 y nq = 288·0,98 = 282,24 > 5, se puede aproximar por una normal con la misma media y desviación típica: μ = np = 5,76 y σ = √(npq) = √5,6448 ≈ 2,3759.
02a · Corrige por continuidad y calcula la probabilidadTribunal: cálculo correcto de la probabilidad pedida0,5
Y es discreta y la normal continua: «11 o más» empieza en 10,5. Tipificas con Z = (X − 5,76)/2,3759, siendo X ~ N(5,76; 2,3759): P(Y ≥ 11) ≈ P(X ≥ 10,5) = P(Z ≥ 1,9951). Redondeando a 2,00 en la tabla, 1 − 0,9772 = 0,0228; con 1,99 sale 1 − 0,9767 = 0,0233, igual de válido. Es una probabilidad pequeña: con un 2 % real, ver 11 o más avisos sería raro.
03b · Busca el valor crítico para el 99 %Tribunal: determinación del valor z_(α/2)0,25
Con 1 − α = 0,99, α = 0,01 y α/2 = 0,005. Buscas z con P(Z ≤ z) = 0,995; en la tabla queda entre Φ(2,57) = 0,9949 y Φ(2,58) = 0,9951, así que z_(α/2) ≈ 2,575.
04b · Aplica la fórmula del error con la proporción del hiloTribunal: aplicación de la fórmula del error y obtención del mismo0,5
El intervalo se construye con la proporción de la muestra, p̂ = 20/288 ≈ 0,0694, y n = 288; el 2 % del comunicado no entra en la fórmula. El error es E = z_(α/2)·√(p̂(1 − p̂)/n) = 2,575·√(0,0694·0,9306/288) ≈ 2,575·0,0150 ≈ 0,0386.
05b · Escribe el intervalo de confianzaTribunal: determinación correcta del intervalo de confianza0,25
El intervalo es (p̂ − E; p̂ + E) = (0,0694 − 0,0386; 0,0694 + 0,0386). Sin redondear p̂ ni E queda (0,0309; 0,1080); si restas los valores ya redondeados, el extremo inferior sale 0,0308, que también es correcto.
06b · Compara el 2 % con el intervalo y concluyeTribunal: justificación correcta sobre la veracidad del comunicado de Pear0,25
El 2 % que afirma Pear es 0,02, y 0,02 < 0,0309: queda fuera del intervalo. Con un 99 % de confianza, la proporción real de móviles con sobrecalentamiento está entre el 3,09 % y el 10,80 %, así que la afirmación del comunicado es cuestionable. Concuerda con a): con un 2 % real, ver 11 o más avisos tenía probabilidad 0,0228, y en el hilo hubo 20.
Error típico
Olvidar la corrección por continuidad
Lo que se suele escribir: P(Y ≥ 11) ≈ P(Z ≥ (11 − 5,76)/σ). Lo correcto: P(Y ≥ 11) ≈ P(Z ≥ (10,5 − 5,76)/σ)
Tipificar 11 directamente, sin la corrección por continuidad: sale P(Z ≥ 2,21) ≈ 0,0136 y se pierde el cálculo de la probabilidad. Y es discreta, así que «11 o más» en la normal empieza en 10,5; tampoco sumes 0,5, porque 11,5 dejaría fuera el propio 11. En b), el error se calcula con p̂ = 20/288, no con el 0,02 del comunicado.
Cuesta los puntos de «cálculo correcto de la probabilidad pedida»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 5.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.