PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Extraordinaria

Pregunta 3.2: dominio, continuidad y asíntotas de una función a trozos

Q: ¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.2 o la 3.1.

Q: ¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

Q: ¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en las páginas 5 y 6.

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a)Dom f = ℝ − {3}: x² − 9 se anula en ±3, pero −3 no cumple x ≥ 0.
b)f es continua en x = 0: los límites laterales y f(0) valen 0.
c)asíntota vertical x = 3, asíntota horizontal y = 1/2 en −∞ y asíntota oblicua y = 4x + 1 en +∞, porque f → ±∞ en 3, x/(2x − 1) → 1/2 y la división da 4x + 1 más un resto.

Pregunta 3.2

PAU Madrid 2025 · ExtraordinariaAnálisis2,5 puntos

Se considera la función real de variable real definida por f(x) = x/(2x − 1) si x < 0; f(x) = (4x³ + x²)/(x² − 9) si x ≥ 0.

a)Determine el dominio de f(x). (0,5 p)
b)Estudie la continuidad de f(x) en x = 0. (0,5 p)
c)Calcule las asíntotas de f(x). (1,5 p)

Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos.

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Cálculo correcto del dominio0,5
02b) Estudio correcto de la continuidad en x = 00,5
03c) Estudio correcto de la asíntota vertical0,5
04c) Estudio correcto de la asíntota horizontal0,5
05c) Estudio correcto de la asíntota oblicua0,5

Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Qué denominadores se anulan de verdad?

Cada fórmula de f solo se aplica en su tramo: mira dónde se anula cada denominador y quédate solo con los valores que caen dentro de ese tramo.

Pista 2 · ¿Qué tramo manda en cada infinito?

Para las asíntotas, estudia −∞ con el primer tramo y +∞ con el segundo: comparar los grados de numerador y denominador te dice si buscar horizontal u oblicua.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Busca dónde se anula cada denominador dentro de su tramoTribunal: cálculo correcto del dominio0,5
Cada fórmula solo se usa en su tramo, así que mira sus denominadores solo ahí. En x < 0, 2x − 1 = 0 da x = 1/2, que no es negativo: ese tramo no pierde ningún punto. En x ≥ 0, x² − 9 = 0 da x = 3 y x = −3, y solo 3 está en el tramo. Por tanto, Dom f = ℝ − {3}.
Tribunal
Cálculo correcto del dominio: 0,50 puntos.
0,5de 2,5
02b · Compara los límites laterales con f(0)Tribunal: estudio correcto de la continuidad en x = 00,5
En x = 0 cambia la fórmula, así que calcula los dos límites laterales con el tramo que corresponde. Por la izquierda, x/(2x − 1) → 0/(−1) = 0; por la derecha, (4x³ + x²)/(x² − 9) → 0/(−9) = 0. Además f(0) se calcula con el segundo tramo y vale 0. Los tres valores coinciden: f es continua en x = 0.
$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{2 x - 1} = 0, \lim_{x \to 0^{+}} \frac{4 x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 9} = 0, f (0) = 0$
Tribunal
Estudio correcto de la continuidad en x = 0: 0,50 puntos.
0,5de 2,5
03c · Estudia la asíntota vertical en x = 3Tribunal: estudio correcto de la asíntota vertical0,5
El único candidato es el punto que sale del dominio, x = 3: en x = 1/2 y en x = −3 no rige la fórmula que se anula. Allí el numerador vale 4 · 27 + 9 = 117 y el denominador tiende a 0. Por la izquierda x² − 9 → 0⁻ y f → −∞; por la derecha x² − 9 → 0⁺ y f → +∞. Así que x = 3 es asíntota vertical.
$\lim_{x \to 3^{-}} f (x) = \frac{117}{0^{-}} = - \infty, \lim_{x \to 3^{+}} f (x) = \frac{117}{0^{+}} = + \infty$
Tribunal
Estudio correcto de la asíntota vertical: 0,50 puntos.
0,5de 2,5
04c · Calcula el límite de f en −∞ y en +∞Tribunal: estudio correcto de la asíntota horizontal0,5
Hacia −∞ manda el primer tramo: x/(2x − 1) tiene numerador y denominador del mismo grado, así que tiende al cociente de coeficientes, 1/2. Por tanto, y = 1/2 es asíntota horizontal en −∞. Hacia +∞ manda el segundo tramo, con numerador de grado 3 y denominador de grado 2: f → +∞ y no hay asíntota horizontal por la derecha.
$\lim_{x \to - \infty} \frac{x}{2 x - 1} = \frac{1}{2}, \lim_{x \to + \infty} \frac{4 x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 9} = + \infty$
Tribunal
Estudio correcto de la asíntota horizontal: 0,50 puntos.
0,5de 2,5
05c · Halla la asíntota oblicua y = mx + n en +∞Tribunal: estudio correcto de la asíntota oblicua0,5
Solo puede haberla en +∞, donde no hay horizontal y el grado del numerador supera en uno al del denominador; en −∞ ya hay horizontal. La pendiente es m = lím f(x)/x = 4 y la ordenada, n = lím (f(x) − 4x) = lím (x² + 36x)/(x² − 9) = 1. La asíntota oblicua es y = 4x + 1 en +∞.
$m = \lim_{x \to + \infty} \frac{4 x^{3} + x^{2}}{x^{3} - 9 x} = 4$
$n = \lim_{x \to + \infty} (\frac{4 x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 9} - 4 x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + 36 x}{x^{2} - 9} = 1$
Tribunal
Estudio correcto de la asíntota oblicua: 0,50 puntos.
0,5de 2,5

Error típico

Quitar del dominio un cero que no está en su tramo

Lo que se suele escribir: ~~Dom f = ℝ − {−3, 3}~~. Lo correcto: Dom f = ℝ − {3}

Al resolver x² − 9 = 0 salen x = 3 y x = −3, y es habitual quitar las dos del dominio. Pero esa fórmula solo se usa para x ≥ 0, así que en −3 nunca se aplica: allí f vale −3/(−7) = 3/7. Lo mismo pasa con 1/2, que no es negativo. Antes de excluir un punto, comprueba que está en el tramo de la fórmula que lo anula.

Cuesta los puntos de «cálculo correcto del dominio»: 0,5 puntos de 2,5.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.2 o la 3.1.

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en las páginas 5 y 6.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.