PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Ordinaria · incidencias
Pregunta 5.1: tangente a f(x) = x² + bx paralela a y = x − 1
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- a)b = −1 o b = 3: la recta toca la gráfica en un x₀ con f(x₀) = x₀ − 1 y f′(x₀) = 1, de donde x₀² = 1 y b = 1 − 2x₀.
- b)sí, para todo b: en x = (1 − b)/2 la tangente tiene pendiente 1, porque f′(x) = 2x + b = 1 siempre tiene solución; con b = −1 o b = 3 es la propia y = x − 1.
Pregunta 5.1
Sea la función f(x) = x² + bx.
- a)Determine los valores de b para que la recta y = x − 1 sea tangente a la gráfica de la función f(x). (1 p)
- b)¿Es cierto que para cualquier valor de b existe una recta tangente a la gráfica de la función f(x) que sea paralela a la recta y = x − 1? Justifique la respuesta. (1 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01a) Obtención de la primera ecuación0,3
- 02a) Obtención de la segunda ecuación0,3
- 03a) Resolución: primer valor de b0,2
- 04a) Resolución: segundo valor de b0,2
- 05b) Planteamiento0,5
- 06b) Justificación correcta0,5
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué comparten la recta y la curva al tocarse?
En a), una recta tangente comparte con la curva dos cosas en el punto de contacto: escribe una ecuación para cada una.
Pista 2 · ¿Qué tienen en común dos rectas paralelas?
En b), piensa qué tienen en común dos rectas paralelas y qué da la derivada en cada punto.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Plantea las dos condiciones de tangenciaTribunal: obtención de la primera ecuación · obtención de la segunda ecuación0,6
Que y = x − 1 sea tangente a la gráfica de f significa que existe un punto x₀ en el que la recta y la curva comparten punto y pendiente. Primera condición, mismo punto: f(x₀) = x₀ − 1, es decir, x₀² + b·x₀ = x₀ − 1. Segunda condición, misma pendiente: la recta tiene pendiente 1 y f′(x) = 2x + b, así que 2x₀ + b = 1.
02a · Resuelve el sistema y halla los dos valores de bTribunal: resolución: primer valor de b · resolución: segundo valor de b0,4
De la segunda ecuación, b = 1 − 2x₀. Sustituyendo en la primera, x₀² + (1 − 2x₀)·x₀ = x₀ − 1, que se reduce a −x₀² = −1, es decir, x₀² = 1: x₀ = 1 o x₀ = −1. Con x₀ = 1 sale b = −1, y con x₀ = −1 sale b = 3. Comprueba: con b = −1, f(1) = 0 = 1 − 1; con b = 3, f(−1) = −2 = −1 − 1.
03b · Plantea la condición de tangente paralelaTribunal: planteamiento0,5
Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente, y la recta y = x − 1 tiene pendiente 1. La tangente a la gráfica de f en un punto x tiene pendiente f′(x) = 2x + b. Por tanto, la pregunta equivale a saber si, para cualquier b, la ecuación 2x + b = 1 tiene solución.
04b · Justifica que siempre existe esa tangenteTribunal: justificación correcta0,5
La ecuación 2x + b = 1 es de primer grado en x y tiene siempre una única solución, x = (1 − b)/2, sea cual sea b. Como f es derivable en todo ℝ, en ese punto hay tangente y su pendiente es 1, así que la respuesta es sí, para todo b. Esa tangente es y = x − (b − 1)²/4: para b = −1 y b = 3 coincide con la propia y = x − 1, como en a).
Error típico
Igualar la derivada a la recta en vez de a su pendiente
Lo que se suele escribir: f′(x₀) = x₀ − 1. Lo correcto: f′(x₀) = 1
Es habitual igualar la derivada a la expresión de la recta, f′(x₀) = x₀ − 1, en lugar de a su pendiente. La recta y = x − 1 aporta dos datos distintos: su valor en x₀, que va con f(x₀), y su pendiente, que es el número 1 y va con f′(x₀). Mezclarlos da un sistema que no describe la tangencia y pierdes los puntos de esa ecuación y de la resolución. Escribe por separado «mismo punto» y «misma pendiente».
Cuesta los puntos de «obtención de la segunda ecuación»: 0,3 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. En la pregunta 5 eliges una de dos opciones: la 5.1 o la 5.2.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.