PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria

Pregunta 1: barómetro del CIS: intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que citan la vivienda y tamaño de muestra

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a)Intervalo al 95 %: (0,3036; 0,4064), con p̂ = 0,355, n = 333, z_(α/2) = 1,96 y E ≈ 0,0514.
b)n = 432 jóvenes: con z_(α/2) = 2,17 y E = 0,05, n ≥ (2,17/0,05)²·0,355·0,645 ≈ 431,29 y se redondea hacia arriba.

Pregunta 1

PAU Madrid 2026 · OrdinariaEstadística2,5 puntos

El barómetro de octubre de 2025 del Centro de Investigaciones Sociológicas (CIS) recoge las entrevistas realizadas a una muestra de 4029 personas. La Pregunta 10R plantea al entrevistado: «¿Cuál es, a su juicio, el principal problema que existe actualmente en España? ¿Y el segundo? ¿Y el tercero?». De los 333 entrevistados entre 18 y 24 años, un 35,5 % mencionan como alguno de los tres problemas «la vivienda», un 26,7 % «la inmigración» y un 25,1 % «los problemas relacionados con la calidad del empleo». En los barómetros de septiembre y julio de 2025, «la vivienda» fue mencionada como respuesta a la Pregunta 10R por el 31,9 % y el 29,3 % de los jóvenes en la misma franja de edad, respectivamente.

a)Calcule el intervalo de confianza al 95 % para la proporción de jóvenes de 18 a 24 años que consideran la vivienda como uno de los tres principales problemas de España en octubre de 2025. (1,5 p)
b)Para el barómetro de noviembre se desea volver a estimar la proporción de jóvenes de 18 a 24 años que consideran la vivienda como uno de los tres principales problemas de España. Se quiere que esta estimación tenga un margen de error de cinco puntos porcentuales y un nivel de confianza del 97 %. Calcule el tamaño de muestra que sería necesario asumiendo que la proporción es p = 0,355. (1 p)

Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos.

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Cálculo correcto del valor crítico z_(α/2)0,3
02a) Justificación correcta del uso de la aproximación normal0,4
03a) Planteamiento correcto de la fórmula del intervalo de confianza0,4
04a) Cálculo correcto del intervalo de confianza0,4
05b) Cálculo correcto del valor crítico z_(α/2)0,3
06b) Planteamiento correcto de la fórmula del error0,2
07b) Cálculo correcto del tamaño mínimo de la muestra0,5

Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Se puede aproximar por la normal?

En a), antes de usar la fórmula comprueba que la muestra permite aproximar por la normal, y busca en la tabla el z que deja la mitad de α en cada cola.

Pista 2 · ¿Cómo se despeja el tamaño de la muestra?

En b), despeja n de la fórmula del error con la proporción que te dan, escribe el margen en tanto por uno y piensa hacia dónde se redondea un tamaño de muestra.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Busca el valor crítico para el 95 %Tribunal: cálculo correcto del valor crítico z_(α/2)0,3
Con 1 − α = 0,95, α = 0,05 y α/2 = 0,025. Buscas en la tabla el z que deja 0,975 a su izquierda: P(Z ≤ 1,96) = 0,9750, así que z_(α/2) = 1,96.
$1 - α = 0,95 \Rightarrow P (Z \leq z_{α / 2}) = 0,975 \Rightarrow z_{α / 2} = 1,96$
Tribunal
Cálculo correcto de z_(α/2): 0,3 puntos.
0,3de 2,5
02a · Justifica que puedes usar la normalTribunal: justificación correcta del uso de la aproximación normal0,4
La proporción muestral es p̂ = 0,355 sobre n = 333 jóvenes, y la muestra es grande: n = 333 ≥ 30, n·p̂ = 333·0,355 ≈ 118,2 > 5 y n·(1 − p̂) = 333·0,645 ≈ 214,8 > 5. Por eso la proporción muestral se distribuye aproximadamente como una normal de media p y desviación típica √(p(1 − p)/n), y el intervalo se construye con z.
$n \hat{p} = 333 \cdot 0,355 \approx 118,2 > 5, n (1 - \hat{p}) = 333 \cdot 0,645 \approx 214,8 > 5$
Tribunal
Justificación correcta del uso de la aproximación normal: 0,4 puntos.
0,4de 2,5
03a · Plantea la fórmula del intervaloTribunal: planteamiento correcto de la fórmula del intervalo de confianza0,4
El intervalo para una proporción es p̂ ± z_(α/2)·√(p̂(1 − p̂)/n), con la proporción de la muestra de octubre. Los datos de septiembre y julio (31,9 % y 29,3 %) y los de otros problemas citados (inmigración, empleo) no entran en la fórmula.
$I C_{95 %} = (\hat{p} - z_{α / 2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}}; \hat{p} + z_{α / 2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}})$
Tribunal
Planteamiento correcto de la fórmula del intervalo de confianza: 0,4 puntos.
0,4de 2,5
04a · Calcula el error y los extremosTribunal: cálculo correcto del intervalo de confianza0,4
El error es E = 1,96·√(0,355·0,645/333) ≈ 1,96·0,02622 ≈ 0,0514. El intervalo queda (0,355 − 0,0514; 0,355 + 0,0514) = (0,3036; 0,4064): con un 95 % de confianza, entre el 30,36 % y el 40,64 % de los jóvenes de 18 a 24 años citaban la vivienda en octubre de 2025.
$E = 1,96 \sqrt{\frac{0,355 \cdot 0,645}{333}} \approx 0,0514 \Rightarrow I C_{95 %} \approx (0,3036; 0,4064)$
Tribunal
Cálculo correcto del intervalo de confianza: 0,4 puntos.
0,4de 2,5
05b · Busca el valor crítico para el 97 %Tribunal: cálculo correcto del valor crítico z_(α/2)0,3
Ahora 1 − α = 0,97, así que α = 0,03 y α/2 = 0,015. Buscas el z con P(Z ≤ z) = 0,985; en la tabla, P(Z ≤ 2,17) = 0,9850, y z_(α/2) = 2,17. No reutilices el 1,96 del apartado a): cambia el nivel de confianza.
$1 - α = 0,97 \Rightarrow P (Z \leq z_{α / 2}) = 0,985 \Rightarrow z_{α / 2} = 2,17$
Tribunal
Cálculo correcto de z_(α/2): 0,3 puntos.
0,3de 2,5
06b · Plantea la fórmula del errorTribunal: planteamiento correcto de la fórmula del error0,2
El error de la estimación de una proporción es E = z_(α/2)·√(p(1 − p)/n). Cinco puntos porcentuales son E = 0,05 (no 5), y el enunciado fija p = 0,355; la incógnita es n.
$E = z_{α / 2} \sqrt{\frac{p (1 - p)}{n}} \Rightarrow 0,05 = 2,17 \sqrt{\frac{0,355 \cdot 0,645}{n}}$
Tribunal
Planteamiento correcto de la fórmula del error: 0,2 puntos.
0,2de 2,5
07b · Despeja el tamaño mínimo de la muestraTribunal: cálculo correcto del tamaño mínimo de la muestra0,5
Para que el error no pase de 0,05 hace falta n ≥ (2,17/0,05)²·0,355·0,645 = 1883,56·0,228975 ≈ 431,29. El tamaño es un número entero y tiene que cumplir la desigualdad, así que se redondea hacia arriba: hacen falta al menos n = 432 jóvenes de 18 a 24 años.
$n \geq {(\frac{2,17}{0,05})}^{2} \cdot 0,355 \cdot 0,645 \approx 431,29 \Rightarrow n = 432$
Tribunal
Cálculo correcto del tamaño mínimo muestral: 0,5 puntos.
0,5de 2,5

Error típico

Redondear el tamaño de la muestra hacia abajo

Lo que se suele escribir: ~~n ≈ 431,29 → n = 431~~. Lo correcto: n ≥ 431,29 → n = 432

Redondear 431,29 al entero más cercano y contestar 431. Con 431 jóvenes el error supera un poco los cinco puntos porcentuales, así que no se cumple lo que pide el enunciado. La condición es n ≥ 431,29, y el menor entero que la cumple es 432: el tamaño de muestra siempre se redondea hacia arriba. Revisa también que el margen va en tanto por uno (0,05) y que el valor crítico es el del 97 %.

Cuesta los puntos de «cálculo correcto del tamaño mínimo de la muestra»: 0,5 puntos de 2,5.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 7.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.