PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria
Pregunta 2.1: función x(1 − x²) + e^(−λx) con parámetro: primitiva con condición, área en [0, 1] y signo de f′(0)
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- a)F(x) = x²/2 − x⁴/4 − e^(−λx)/λ + 1 + 1/λ o F(x) = x²/2 − x⁴/4 + x + 1 (λ = 0).
- b)Área = 1/4 + (1 − e^(−λ))/λ u² o Área = 5/4 u² (λ = 0), con f > 0.
- c)λ < 1, porque f′(x) = 1 − 3x² − λe^(−λx) y f′(0) = 1 − λ debe ser positiva.
Pregunta 2.1
Considere la función real de variable real f(x) = x(1 − x²) + e^(−λx), donde λ es un parámetro real sin especificar.
- a)Calcule F(x), la primitiva de f(x), tal que F(0) = 1. (1 p)
- b)Obtenga el área entre la curva de f(x) y el eje horizontal en el intervalo [0, 1]. (1 p)
- c)¿Para qué valores de λ es f′(0) positiva? (0,5 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Cálculo correcto de la primitiva0,5
- 02a) Cálculo correcto de la constante de integración0,5
- 03b) Justificación correcta de la positividad de f(x) en [0, 1]0,3
- 04b) Planteamiento correcto del área pedida0,3
- 05b) Cálculo correcto del área0,4
- 06c) Cálculo correcto de la derivada0,3
- 07c) Identificación correcta de f′(0) y obtención de la condición sobre λ0,2
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cuál es la primitiva de e^(−λx)?
Desarrolla el producto x(1 − x²) e integra cada término; para la exponencial, piensa qué función al derivarla da e^(−λx), y no olvides que F(0) incluye el valor de esa exponencial en 0.
Pista 2 · ¿Cambia f de signo en [0, 1]?
En b), mira el signo de cada sumando de f en [0, 1] antes de integrar; en c), deriva con la regla de la cadena y sustituye x = 0.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Integra término a términoTribunal: cálculo correcto de la primitiva0,5
Desarrolla f(x) = x − x³ + e^(−λx) e integra cada sumando: x da x²/2, x³ da x⁴/4 y, si λ ≠ 0, e^(−λx) da −e^(−λx)/λ (al derivarla vuelve a salir e^(−λx)). Así, F(x) = x²/2 − x⁴/4 − e^(−λx)/λ + C. Si λ = 0, la exponencial vale 1 y su primitiva es x: F(x) = x²/2 − x⁴/4 + x + C.
02a · Fija la constante con F(0) = 1Tribunal: cálculo correcto de la constante de integración0,5
En x = 0 los términos polinómicos se anulan, pero la exponencial no: e⁰ = 1. Queda F(0) = −1/λ + C = 1, así que C = 1 + 1/λ y F(x) = x²/2 − x⁴/4 − e^(−λx)/λ + 1 + 1/λ. Si λ = 0, F(0) = C = 1 y F(x) = x²/2 − x⁴/4 + x + 1. Comprueba derivando: F′(x) = x − x³ + e^(−λx).
03b · Justifica que f es positiva en [0, 1]Tribunal: justificación correcta de la positividad de f(x) en [0, 1]0,3
En [0, 1] se cumple x ≥ 0 y 1 − x² ≥ 0, así que x(1 − x²) ≥ 0. La exponencial e^(−λx) es estrictamente positiva para cualquier λ. La suma es positiva: f(x) > 0 en todo [0, 1], la curva no corta el eje y no hay que partir la integral.
04b · Plantea el área como una integral definidaTribunal: planteamiento correcto del área pedida0,3
Como f > 0 en [0, 1], el área entre la curva y el eje horizontal es directamente la integral de f entre 0 y 1, sin valor absoluto. Por la regla de Barrow, vale F(1) − F(0) con cualquier primitiva; la del apartado a) sirve.
05b · Calcula el área con BarrowTribunal: cálculo correcto del área0,4
La parte polinómica da 1/2 − 1/4 = 1/4. La exponencial da [−e^(−λx)/λ] de 0 a 1 = (1 − e^(−λ))/λ. El área es 1/4 + (1 − e^(−λ))/λ u², que es positiva para todo λ ≠ 0. Si λ = 0, la exponencial aporta ∫₀¹ 1 dx = 1 y el área es 5/4 u².
06c · Deriva fTribunal: cálculo correcto de la derivada0,3
Deriva f(x) = x − x³ + e^(−λx) sumando a sumando. La exponencial necesita la regla de la cadena: la derivada de e^(−λx) es −λe^(−λx). Queda f′(x) = 1 − 3x² − λe^(−λx).
07c · Evalúa en 0 y resuelve la desigualdadTribunal: identificación correcta de f′(0) y obtención de la condición sobre λ0,2
En x = 0, f′(0) = 1 − 0 − λ·e⁰ = 1 − λ. Es positiva cuando 1 − λ > 0, es decir, para λ < 1. Por ejemplo, con λ = 0, f′(0) = 1 > 0, y con λ = 2, f′(0) = −1 < 0.
Error típico
Olvidar que la exponencial vale 1 en x = 0
Lo que se suele escribir: F(0) = C = 1 (λ ≠ 0). Lo correcto: F(0) = −1/λ + C = 1 (λ ≠ 0)
Con λ ≠ 0, al imponer F(0) = 1, tratar la exponencial como si se anulara en x = 0 y escribir C = 1. Los términos x²/2 y x⁴/4 sí valen 0 en x = 0, pero −e^(−λ·0)/λ vale −1/λ, porque e⁰ = 1. Sustituye siempre la primitiva completa: −1/λ + C = 1 da C = 1 + 1/λ. Solo si λ = 0, donde la primitiva de la exponencial es x, sí se obtiene C = 1. El mismo valor e⁰ = 1 aparece luego en F(0) dentro de Barrow.
Cuesta los puntos de «cálculo correcto de la constante de integración»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.1 o la 2.2.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 7.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.