PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria
Pregunta 4.1: tres sucesos con independencia condicionada: independencia de A y B y probabilidad de C sabiendo A y B
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- a)A y B no son independientes: P(A ∩ B) = 0,28, sumando las ramas de C y Cᶜ, y P(A)·P(B) = 0,24.
- b)P(C | A ∩ B) = 6/7 ≈ 0,8571: P(A ∩ B ∩ C) = 0,48 · 0,5 = 0,24, dividido entre P(A ∩ B) = 0,28.
Pregunta 4.1
Sean A, B y C tres sucesos de los que se conoce la siguiente información: P(A) = 0,4, P(B) = 0,6, P(C) = 0,5, P(A | C) = 0,6, P(B | C) = 0,8, P(A ∩ B | C) = P(A | C)·P(B | C) y P(A ∩ B | Cᶜ) = 0,08. Nota: Sᶜ denota el suceso complementario (contrario) del suceso S.
- a)Determine si A y B son independientes. (1 p)
- b)Determine la probabilidad de que C ocurra sabiendo que A y B ocurrieron. (1,5 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Planteamiento correcto de la condición de independencia de sucesos0,2
- 02a) Planteamiento correcto de la probabilidad de la intersección0,4
- 03a) Justificación correcta de la dependencia de los sucesos0,4
- 04b) Identificación correcta de la probabilidad pedida0,3
- 05b) Planteamiento correcto de la probabilidad0,4
- 06b) Uso correcto de la independencia condicional0,4
- 07b) Cálculo correcto de la probabilidad pedida0,4
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cómo sacar P(A ∩ B) de los datos?
Para decidir si A y B son independientes necesitas P(A ∩ B): reconstrúyela con lo que pasa cuando ocurre C y cuando no ocurre.
Pista 2 · ¿Qué va detrás de la barra en el apartado b?
En el apartado b, lo que ya se sabe va detrás de la barra; el numerador sale de la independencia condicionada a C.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Escribe la condición de independenciaTribunal: planteamiento correcto de la condición de independencia de sucesos0,2
A y B son independientes si y solo si P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Aquí P(A)·P(B) = 0,4 · 0,6 = 0,24, así que hay que calcular P(A ∩ B) y compararla con 0,24.
02a · Calcula P(A ∩ B) sumando las ramas de C y CᶜTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad de la intersección0,4
No te dan P(A ∩ B), pero sí condicionada a C y a Cᶜ, que forman un sistema completo. Por probabilidad total, P(A ∩ B) = P(A ∩ B | C)·P(C) + P(A ∩ B | Cᶜ)·P(Cᶜ). Con la independencia condicionada, P(A ∩ B | C) = 0,6 · 0,8 = 0,48, y P(Cᶜ) = 1 − 0,5 = 0,5. Queda P(A ∩ B) = 0,48 · 0,5 + 0,08 · 0,5 = 0,24 + 0,04 = 0,28.
03a · Compara y concluye que son dependientesTribunal: justificación correcta de la dependencia de los sucesos0,4
P(A ∩ B) = 0,28 y P(A)·P(B) = 0,24 no coinciden, así que A y B no son independientes: son dependientes. Que A y B sean independientes condicionados a C no implica que lo sean sin condicionar; la definición se comprueba siempre con las probabilidades sin condicionar.
04b · Identifica la probabilidad que se pideTribunal: identificación correcta de la probabilidad pedida0,3
«Que C ocurra sabiendo que A y B ocurrieron» es P(C | A ∩ B): lo que ya se sabe, A ∩ B, va detrás de la barra. No es P(A ∩ B | C), que es la condicionada al revés.
05b · Plantea la condicionada como cocienteTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,4
Por definición, P(C | A ∩ B) = P(A ∩ B ∩ C)/P(A ∩ B). El denominador ya lo tienes del apartado a, P(A ∩ B) = 0,28, y el numerador se escribe como P(A ∩ B | C)·P(C), que es lo que da el enunciado.
06b · Usa la independencia condicional en el numeradorTribunal: uso correcto de la independencia condicional0,4
El enunciado dice que, condicionados a C, A y B son independientes: P(A ∩ B | C) = P(A | C)·P(B | C) = 0,6 · 0,8 = 0,48. Por tanto, P(A ∩ B ∩ C) = 0,48 · 0,5 = 0,24.
07b · Calcula la probabilidadTribunal: cálculo correcto de la probabilidad pedida0,4
P(C | A ∩ B) = 0,24/0,28 = 6/7 ≈ 0,8571. Tiene sentido que supere a P(C) = 0,5: A y B ocurren juntos mucho más a menudo con C que sin C (0,48 frente a 0,08), así que saber que ocurrieron hace más probable C.
Error típico
Olvidar la rama de Cᶜ al calcular P(A ∩ B)
Lo que se suele escribir: P(A ∩ B) = 0,48 · 0,5 = 0,24. Lo correcto: P(A ∩ B) = 0,24 + 0,04 = 0,28
La trampa está en P(A ∩ B). Si usas solo la rama de C, P(A ∩ B | C)·P(C) = 0,24, te sale justo P(A)·P(B) y concluyes que son independientes, lo cual es falso. Ese 0,24 es P(A ∩ B ∩ C), no P(A ∩ B): falta la parte en la que no ocurre C, 0,08 · 0,5 = 0,04. Suma las dos ramas, C y Cᶜ, y compara 0,28 con 0,24.
Cuesta los puntos de «planteamiento correcto de la probabilidad de la intersección»: 0,4 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.1 o la 4.2.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 8.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.