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Madrid 2026 · Matemáticas II

PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Extraordinaria · incidencias

Pregunta 3: conjunto de matrices triangulares: producto, inversa y matrices idempotentes

En breveOcultar para practicarMostrar el resultado
  1. a)AB = (ac, ad+bc+bd; 0, (a+b)(c+d)) y AB ∈ S.
  2. b1)A⁻¹ ∈ S si a(a+b) ≠ 0: A⁻¹ = (1/a, −b/(a(a+b)); 0, 1/(a+b)).
  3. b2)Nula, identidad, (0 1; 0 1) y (1 −1; 0 0): A² = A da a² = a y b(2a + b) = b, con b = 0 o 2a + b = 1.

Pregunta 3

PAU Madrid 2026 · Extraordinaria · incidenciasÁlgebra2 puntos

Sea S el conjunto formado por todas las matrices reales 2 × 2 triangulares superiores para las que el elemento que ocupa el lugar (2, 2) de la matriz es la suma de los elementos de su primera fila, es decir, S es el conjunto de las matrices cuyas filas son, en este orden, (a, b) y (0, a + b), con a, b ∈ ℝ.

  1. a)Pruebe que si A y B son dos matrices cualesquiera del conjunto S, AB está en S. (1 p)
  2. b)Responda solo a uno de los dos apartados siguientes. (1 p)
    1. b1)Determine para qué valores de a y b las matrices de S son invertibles. Pruebe que si una matriz de S tiene inversa, esta es también una matriz de S. (1 p)
    2. b2)Calcule todas las matrices A de S tales que A² = A. (1 p)

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria (incidencias) · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)
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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2 puntos.

Los criterios, a escala3puntos
Criterios oficialesPuntos
  1. 01a) Elección de dos matrices generales de S0,2
  2. 02a) Multiplicación AB0,3
  3. 03a) Prueba de que AB está en S0,5
  4. 04b1) Determinación de los valores de a y b para los que las matrices de S son invertibles0,2
  5. 05b1) Cálculo de la matriz inversa0,5
  6. 06b1) Comprobación de que la matriz inversa está en S0,3
  7. 07b2) Matriz nula0,2
  8. 08b2) Matriz identidad0,2
  9. 09b2) Primera de las otras dos matrices con A² = A: planteamiento0,2
  10. 10b2) Primera de las otras dos matrices con A² = A: resolución0,1
  11. 11b2) Segunda de las otras dos matrices con A² = A: planteamiento0,2
  12. 12b2) Segunda de las otras dos matrices con A² = A: resolución0,1

Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · En a), ¿qué letras usas para A y para B?

En a), «cualesquiera» significa que A y B no tienen por qué ser iguales: escríbelas con letras distintas. Después no basta con que el producto sea triangular: mira la condición que define S.

Pista 2 · En b), ¿por dónde empiezas?

Responde solo a b1) o a b2). En b1), el determinante de una matriz triangular es el producto de su diagonal; en b2), iguala A² y A elemento a elemento y no pierdas soluciones al simplificar.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

  1. 01a · Toma dos matrices generales de S con letras distintasTribunal: elección de dos matrices generales de S0,2

    «Cualesquiera» obliga a trabajar con dos matrices de S sin relación entre sí: A, con primera fila (a, b), y B, con primera fila (c, d), con a, b, c, d ∈ ℝ. Por la definición de S, la segunda fila de A es (0, a + b) y la de B, (0, c + d). Si usas las mismas letras para las dos, solo pruebas que A² está en S, y en todo el apartado a) se dan como máximo 0,4 puntos. Un ejemplo con números tampoco vale: la propiedad tiene que cumplirse para todas.

    A=(ab0a+b),B=(cd0c+d),a,b,c,d∈ℝ
  2. 02a · Multiplica A por BTribunal: multiplicación AB0,3

    Multiplica fila por columna. El elemento (1, 1) es a·c + b·0 = ac; el (1, 2), a·d + b·(c + d) = ad + bc + bd; el (2, 1), 0·c + (a + b)·0 = 0; y el (2, 2), 0·d + (a + b)(c + d) = (a + b)(c + d).

    AB=(ab0a+b)(cd0c+d)=(acad+bc+bd0(a+b)(c+d))
  3. 03a · Comprueba en AB la condición que define STribunal: prueba de que AB está en S0,5

    AB es triangular superior, porque su elemento (2, 1) es 0. Falta lo que define S: que el elemento (2, 2) sea la suma de la primera fila. Esa suma es ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) = (a + b)(c + d), que es justo el elemento (2, 2). Por tanto, AB ∈ S. Ser triangular no basta: la matriz con filas (1, 0) y (0, 5) es triangular y no está en S.

    ac+(ad+bc+bd)=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
  4. 04b1 · Calcula el determinante y exige que no se anuleTribunal: determinación de los valores de a y b para los que las matrices de S son invertibles0,2

    A es triangular, así que su determinante es el producto de la diagonal: det(A) = a(a + b). Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es 0, así que A es invertible cuando a ≠ 0 y a + b ≠ 0, es decir, cuando a ≠ 0 y b ≠ −a. Basta con que uno de los dos factores valga 0 para que no la tenga.

    det⁡(A)=|ab0a+b|=a(a+b)≠0⟺a≠0 y a+b≠0
  5. 05b1 · Calcula la inversa con la adjuntaTribunal: cálculo de la matriz inversa0,5

    En una matriz 2×2 con filas (p, q) y (r, s), la traspuesta de la adjunta tiene filas (s, −q) y (−r, p), y la inversa es esa matriz dividida entre el determinante ps − qr. Aquí queda (a + b, −b) y (0, a) entre a(a + b): A⁻¹ tiene filas (1/a, −b/(a(a + b))) y (0, 1/(a + b)). Compruébalo con A·A⁻¹: el elemento (1, 2) es a·(−b/(a(a + b))) + b/(a + b) = 0, y los de la diagonal valen 1.

    A−1=1a(a+b)(a+b−b0a)=(1a−ba(a+b)01a+b)
  6. 06b1 · Comprueba que A⁻¹ cumple la condición de STribunal: comprobación de que la matriz inversa está en S0,3

    A⁻¹ es triangular superior. Suma su primera fila con denominador común: 1/a − b/(a(a + b)) = (a + b − b)/(a(a + b)) = 1/(a + b), que es su elemento (2, 2). Así que A⁻¹ ∈ S: es la matriz de S con primera fila (1/a, −b/(a(a + b))).

    1a−ba(a+b)=a+b−ba(a+b)=1a+b
  7. 07b2 · Plantea A² = A y obtén la nula y la identidadTribunal: matriz nula · matriz identidad0,4

    A² tiene filas (a², 2ab + b²) y (0, (a + b)²). Igualando elemento a elemento con A salen tres ecuaciones: a² = a, b(2a + b) = b y (a + b)² = a + b. La segunda se escribe b(2a + b − 1) = 0: no dividas entre b, porque b = 0 es una de las posibilidades. Si b = 0, la primera da a = 0 o a = 1, y la tercera se cumple: son la matriz nula y la identidad.

    A2=(a22ab+b20(a+b)2)=(ab0a+b)⟺{a2=ab(2a+b)=b(a+b)2=a+b
  8. 08b2 · Resuelve el caso 2a + b = 1Tribunal: primera de las otras dos matrices con A² = A: planteamiento · primera de las otras dos matrices con A² = A: resolución · segunda de las otras dos matrices con A² = A: planteamiento · segunda de las otras dos matrices con A² = A: resolución0,6

    Si b ≠ 0, la segunda ecuación obliga a 2a + b = 1, es decir, b = 1 − 2a, y la primera sigue dando a = 0 o a = 1. Con a = 0 sale b = 1 y a + b = 1: la matriz con filas (0, 1) y (0, 1). Con a = 1 sale b = −1 y a + b = 0: la matriz con filas (1, −1) y (0, 0). En las dos, a + b vale 1 o 0, así que (a + b)² = a + b también se cumple; si multiplicas, las dos dan A² = A.

    (0101)2=(0101),(1−100)2=(1−100)

Error típico

Tomar B = A en vez de dos matrices cualesquiera

Lo que se suele escribir: AB = A². Lo correcto: AB = (ac, ad+bc+bd; 0, (a+b)(c+d))

Es muy frecuente tomar B = A, o escribir B con las mismas letras a y b, y probar en realidad que A² está en S. El enunciado dice «dos matrices cualesquiera», que pueden ser distintas, y con A = B el criterio da como máximo 0,4 puntos en todo a). Escribe B con letras nuevas, primera fila (c, d) y segunda (0, c + d), y haz el producto general.

Cuesta los puntos de «elección de dos matrices generales de S»: 0,2 puntos de 2.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

Punto por punto2puntos
En el apartado b, ¿qué opción has hecho?
Lo que tienes completoPuntos
Total0 / 2

Es tu suma, no una nota del tribunal.

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Lo revisamos y te avisamos si tienes cuenta.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.

¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?

Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 3.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria (incidencias) · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.