PAU Madrid 2025 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Extraordinaria · incidencias
Pregunta 1: té matcha y redes sociales: función de costes y beneficio máximo
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- a)C(x) = x²/100 + x/5 + 121: se integra c(x) y la condición C(1) = 121,21 fija la constante k = 121.
- b)Crece en (0, 1), decrece en (1, +∞), tiene el máximo en t = 1 con B(1) = 400 000 € y lím_(t→+∞) B(t) = 0: B′(t) = −1 600 000(t − 1)/((t − 1)² + 2)² cambia de positiva a negativa en t = 1.
Pregunta 1
El famoso youtuber Pepe Fogones ha decidido emprender una nueva aventura empresarial y se ha unido con su amigo Cocinauta para lanzar al mercado una exclusiva variedad de té matcha ecológico. Ambos han invertido parte de sus ahorros en una plantación de té y están analizando los costes de recolección, procesamiento y envasado del té para su distribución. El grupo de asesores contratado por Pepe Fogones y Cocinauta ha logrado modelar los costes marginales mensuales, en euros, mediante la siguiente función: c(x) = (x + 10)/50, 0 < x < 100, siendo x la cantidad mensual, en kilos, de té matcha envasado. Los asesores contratados por Pepe Fogones y su socio han hecho, además, un estudio de los beneficios que obtiene con sus redes sociales, representados en euros mediante la siguiente función de beneficios: B(t) = 800000/((t − 1)² + 2), t ≥ 0, siendo t el tiempo transcurrido a partir del momento en que han hecho el estudio.
- a)Calcule el coste de envasar x kilos de té matcha sabiendo que el coste de envasar el primer kilo es de 121,21 euros. Tenga en cuenta que la función de costes marginales es la derivada de la función de costes. (1 p)
- b)Analice si, con el transcurso del tiempo, el beneficio que obtiene Pepe Fogones con sus redes sociales crece o no, cuál es el máximo beneficio y en qué momento se alcanza. Estudie qué pasaría con el beneficio a largo plazo. (1,5 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UC3M. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (drive.google.com)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Cálculo correcto de la primitiva0,5
- 02a) Cálculo correcto de la constante0,25
- 03a) Expresión correcta de C(x)0,25
- 04b) Estudio correcto de los intervalos de crecimiento y decrecimiento0,5
- 05b) Cálculo correcto del máximo y su valor0,5
- 06b) Estudio correcto del beneficio a largo plazo0,25
- 07b) Contextualización de las soluciones0,25
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cómo se pasa del coste marginal al coste?
El coste es una primitiva del coste marginal: integra c(x), no olvides la constante y fíjala con el dato del primer kilo.
Pista 2 · ¿Qué decide si el beneficio crece o decrece?
Para saber si el beneficio crece, deriva B(t) y estudia el signo de B′ a cada lado del punto donde se anula. El largo plazo es el límite cuando t → +∞.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Integra el coste marginalTribunal: cálculo correcto de la primitiva0,5
El coste marginal es la derivada del coste, así que C(x) es una primitiva de c(x). Separa la fracción: (x + 10)/50 = x/50 + 1/5, que se integra término a término. Queda C(x) = x²/100 + x/5 + k, con una constante k que todavía no conoces. Compruébalo derivando: (x²/100 + x/5)′ = x/50 + 1/5.
02a · Halla la constante con el coste del primer kiloTribunal: cálculo correcto de la constante0,25
El primer kilo es x = 1, así que el dato se traduce en C(1) = 121,21. Sustituye: 1/100 + 1/5 + k = 0,21 + k = 121,21, de donde k = 121.
03a · Escribe la función de costesTribunal: expresión correcta de C(x)0,25
Con k = 121, el coste de envasar x kilos al mes es C(x) = x²/100 + x/5 + 121 euros, para 0 < x < 100. Si has integrado directamente (x + 10)²/100, la constante sale 120 y la expresión es la misma una vez desarrollada: (x + 10)²/100 + 120 = x²/100 + x/5 + 121.
04b · Estudia el signo de B′(t)Tribunal: estudio correcto de los intervalos de crecimiento y decrecimiento0,5
B(t) es un cociente con numerador constante: deriva el denominador y cambia el signo. B′(t) = −800 000 · 2(t − 1)/((t − 1)² + 2)² = −1 600 000(t − 1)/((t − 1)² + 2)². El denominador es siempre positivo, así que el signo lo da −(t − 1): B′(t) = 0 solo en t = 1, B′ > 0 en (0, 1) y B′ < 0 en (1, +∞). El beneficio crece en (0, 1) y decrece en (1, +∞).
05b · Calcula el máximo y su valorTribunal: cálculo correcto del máximo y su valor0,5
Como B pasa de crecer a decrecer en t = 1, ahí tiene un máximo. Su valor es B(1) = 800 000/(0 + 2) = 400 000 €. Tiene sentido: el denominador (t − 1)² + 2 es mínimo en t = 1, y una fracción con numerador positivo fijo es máxima donde su denominador es mínimo.
06b · Calcula el beneficio a largo plazoTribunal: estudio correcto del beneficio a largo plazo0,25
A largo plazo significa t → +∞. El denominador (t − 1)² + 2 crece sin cota y el numerador es fijo, así que el límite es 0: y = 0 es asíntota horizontal de B.
07b · Interpreta los resultados en el contextoTribunal: contextualización de las soluciones0,25
Responde a lo que pregunta el enunciado con palabras: el beneficio de las redes sociales no crece siempre. Aumenta desde el momento del estudio, cuando vale B(0) = 800 000/3 ≈ 266 666,67 €, hasta t = 1, donde alcanza el máximo de 400 000 €; a partir de ahí disminuye y, a largo plazo, tiende a 0: las redes acabarían por no darle apenas beneficio.
Error típico
Perder el signo menos al derivar el cociente
Lo que se suele escribir: B′(t) > 0 para t > 1. Lo correcto: B′(t) < 0 para t > 1
Al derivar B(t) = 800 000/((t − 1)² + 2) se suele perder el signo menos que sale de derivar el denominador. Sin él, B′ parece positiva para t > 1, los intervalos se invierten y t = 1 pasa por un mínimo: se pierden la monotonía y, de rebote, el máximo. Compruébalo con una idea rápida: el denominador es mínimo en t = 1, así que B es máximo ahí.
Cuesta los puntos de «estudio correcto de los intervalos de crecimiento y decrecimiento»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (drive.google.com): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 6.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Extraordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UC3M. Publicado en drive.google.com, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.