PAU Madrid 2027 · Matemáticas II · Modelo, no convocatoria celebrada

Pregunta 1: plano de dos rectas perpendiculares y punto a una distancia dada

Tema · Geometría en el espacio
Obligatoria
Solución verificada

En breveOcultar para practicarMostrar el resultado

a)π: 4x + y + z = 6 y C = (0, 2, 4), que es Q: el punto de r donde AC es perpendicular a PQ.
b)R = (0, 2 + 3√2/2, 4 − 3√2/2) o R = (0, 2 − 3√2/2, 4 + 3√2/2), los puntos de s a distancia d(P, Q) = 3 de Q; basta con uno.

Pregunta 1

PAU Madrid modelo 2027Geometría2 puntos

Dos rectas r y s en un mismo plano π se cortan perpendicularmente en un punto C. La recta r está determinada por los puntos P(1, 0, 2) y Q(0, 2, 4) y la recta s está determinada por A(0, 4, 2) y el punto C.

a)Halle las ecuaciones del plano π y las coordenadas de C. (1 p)
b)Halle un punto R de la recta s tal que la distancia de R a Q sea igual a la distancia de P a Q. (1 p)

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (uam.es)

Empieza a estudiar · muy pronto

Corregir con foto abre muy pronto

Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2 puntos.

Los criterios, a escala2puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Ecuación del plano: planteamiento0,3
02a) Ecuación del plano: resolución0,2
03a) Coordenadas del punto C: planteamiento0,3
04a) Coordenadas del punto C: resolución0,2
05b) Cálculo de la distancia de P a Q0,2
06b) Planteamiento de la búsqueda de R en la recta s0,4
07b) Resolución: obtención de un punto R válido0,4

Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Qué puntos y vectores determinan π?

π contiene a r y al punto A: con P y los vectores PQ y PA ya tienes el plano.

Pista 2 · ¿Qué condición fija el punto C?

C es el punto de r en el que el vector AC es perpendicular al vector director de r. En b), busca R solo sobre s.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Halla π con un punto y dos vectores del planoTribunal: ecuación del plano: planteamiento · ecuación del plano: resolución0,5
Como r y s están en π, el plano contiene a P, a Q y a A, y tienes dos vectores directores: u = PQ = (−1, 2, 2) y v = PA = (−1, 4, 0). No son proporcionales, así que A no está en r y los tres puntos determinan el plano. Un vector normal es u × v = (−8, −2, −2), proporcional a n = (4, 1, 1); con P, 4·1 + 0 + 2 = 6, luego π: 4x + y + z = 6, y en paramétricas (x, y, z) = (1, 0, 2) + λ(−1, 2, 2) + μ(−1, 4, 0), con λ, μ ∈ ℝ. Comprueba que Q y A también cumplen la ecuación: 0 + 2 + 4 = 6 y 0 + 4 + 2 = 6.
$\vec{u} \times \vec{v} = | \begin{matrix} \vec{ı} & \vec{ȷ} & \vec{k} \\ - 1 & 2 & 2 \\ - 1 & 4 & 0 \end{matrix} | = (- 8, - 2, - 2) ∥ (4, 1, 1)$
$π : 4 x + y + z = 6 π : (x, y, z) = (1, 0, 2) + λ (- 1, 2, 2) + μ (- 1, 4, 0)$
Tribunal
Ecuación del plano: 0,5 puntos (planteamiento: 0,3 puntos, resolución: 0,2 puntos).
0,5de 2
02a · Impón que AC sea perpendicular a r para hallar CTribunal: coordenadas del punto C: planteamiento · coordenadas del punto C: resolución0,5
C está en r, así que es de la forma C = (1 − t, 2t, 2 + 2t). Como r y s se cortan perpendicularmente, el vector AC = (1 − t, 2t − 4, 2t) tiene que ser perpendicular a u: AC·u = −(1 − t) + 2(2t − 4) + 2·2t = 9t − 9 = 0. Sale t = 1 y C = (0, 2, 4): C coincide con Q, y s pasa por A y C con dirección (0, −2, 2), proporcional a (0, 1, −1), que cumple (0, 1, −1)·(4, 1, 1) = 0, así que s está dentro de π, como debe. Otra vía válida: la dirección de s es perpendicular a n y a u, luego es n × u = (0, −9, 9), y C es el corte de r con la recta que pasa por A con esa dirección.
$C = (1 - t, 2 t, 2 + 2 t), \vec{A C} = (1 - t, 2 t - 4, 2 t)$
$\vec{A C} \cdot \vec{u} = - (1 - t) + 2 (2 t - 4) + 2 \cdot 2 t = 9 t - 9 = 0 ⟹ t = 1, C = (0, 2, 4)$
Tribunal
Coordenadas del punto C: 0,5 puntos (planteamiento: 0,3 puntos, resolución: 0,2 puntos).
0,5de 2
03b · Calcula la distancia de P a QTribunal: cálculo de la distancia de P a Q0,2
Es el módulo del vector PQ = (−1, 2, 2): d(P, Q) = √((−1)² + 2² + 2²) = √9 = 3. Buscas, por tanto, puntos de s que estén a distancia 3 de Q.
$d (P, Q) = | \vec{P Q} | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3$
Tribunal
Cálculo de la distancia de P a Q: 0,2 puntos.
0,2de 2
04b · Plantea R sobre s con d(R, Q) = 3 y resuélveloTribunal: planteamiento de la búsqueda de R en la recta s · resolución: obtención de un punto R válido0,8
R tiene que estar en s, no en r: el propio P y el punto (−1, 4, 6) de r también están a distancia 3 de Q, pero no valen. Como Q = C está en s, recorre s desde Q con el vector unitario w = (0, 1, −1)/√2: R = (0, 2, 4) + μ·(0, 1, −1)/√2, y así d(R, Q) = |μ|. Imponer d(R, Q) = 3 da |μ| = 3: con μ = 3 sale R = (0, 2 + 3√2/2, 4 − 3√2/2), y con μ = −3, el otro punto, (0, 2 − 3√2/2, 4 + 3√2/2). Comprobación: |QR|² = (3√2/2)² + (3√2/2)² = 9/2 + 9/2 = 9. Con un solo punto correcto ya tienes la puntuación máxima.
$R = (0, 2, 4) + μ \frac{(0, 1, - 1)}{\sqrt{2}}, d (R, Q) = | μ | = 3$
$R = (0, 2 \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}, 4 \mp \frac{3 \sqrt{2}}{2})$
Tribunal
Planteamiento: 0,4 puntos. Resolución: 0,4 puntos. Se otorga la puntuación máxima dando un solo punto correcto.
0,8de 2

Error típico

Buscar C sin imponer que AC sea perpendicular a r

Lo que se suele escribir: ~~C = r ∩ AP = P~~. Lo correcto: AC·PQ = 0 ⇒ C = Q

Buscar C como el corte de r con una recta cualquiera que pase por A: por A pasa una recta hasta cada punto de r, así que sin más condiciones C no queda determinado. Lo que lo fija es la perpendicularidad: escribe C genérico en r e impón AC·PQ = 0. Y si te sale C = Q, no te alarmes: aquí el pie de la perpendicular coincide con Q.

Cuesta los puntos de «coordenadas del punto C: planteamiento»: 0,3 puntos de 2.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos

Sigue practicando

HerramientaCalculadora de nota PAU 2027 · Madrid

Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.

¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?

Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Esta pregunta salió en la PAU?

No. Es del modelo de examen 2027 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (uam.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 3.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAM. Publicado en uam.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 18 de octubre de 2026.