Matrices en la PAU de Madrid: ejercicios resueltos

Planteamiento del sistema de ecuaciones · 0,75

Calcular AB en lugar de BA, o B(A + A²) en lugar de (A + A²)B, como si el orden diera igual. El producto de matrices no es conmutativo: aquí el primer elemento de BA es a − b y el de AB, a + 5b. Con el orden cambiado el sistema es otro y se pierden los puntos del planteamiento. Antes de multiplicar, mira qué matriz va a la izquierda: en BA, filas de B por columnas de A.

Discusión correcta del sistema según los valores de a · 0,75

Ver que det(AᵗA) = 0 y concluir sin más que el sistema es compatible indeterminado para cualquier a. Un determinante nulo solo dice que el sistema no puede ser compatible determinado; para saber si tiene solución hay que comparar el rango de AᵗA con el de la ampliada, y aquí la ampliada sube a rango 3 en cuanto a(2 − a) ≠ 0. Sin esa comparación, la discusión pierde casi todos sus 0,75 puntos.

Resolución del apartado b) · 0,5

Despejar mal la tercera incógnita en b): de 3x + 2y − 3z = 0 con y = x sale 5x = 3z, y es fácil escribir z = 3x/5 en lugar de z = 5x/3. Con ese despeje el vector sería (5, 5, 3), que no cumple la tercera ecuación (15 + 10 − 9 = 16 ≠ 0), y se pierde la resolución. Cierra siempre el apartado multiplicando (A − 5I) por tu vector: tiene que dar el vector nulo.