Matemáticas II · Madrid · Bloque de geometría
Geometría en el espacio en la PAU de Madrid: ejercicios resueltos
15 ejercicios resueltos de geometría en el espacio de Matemáticas II: ordinaria, ordinaria · incidencias, extraordinaria y modelo de 2025, ordinaria, ordinaria · incidencias, extraordinaria, extraordinaria · incidencias y modelo de 2026 y modelo de 2027. Aquí tienes el método, los ejercicios y los errores que más puntos cuestan.
15ejercicios resueltos de 2025, 2026 y 2027
2024: aún sin clasificar por temas. Tienes los PDF oficiales en la página de la asignatura.
El método, criterio a criterio
Así reparte el tribunal los 2 puntos de la 3 de la ordinaria de 2026, paso a paso:
- a · Escribe la recta perpendicular a π que pasa por P0,2/2Recta normal
- a · Halla el punto donde la recta corta al plano0,3/2Punto de corte de recta y plano
- a · Usa que Q es el punto medio entre P y su simétrico0,3/2Uso de la fórmula del punto medio
- a · Calcula el simétrico y compruébalo0,2/2Respuesta correcta
- b1 · Comprueba que la recta es paralela al plano0,2/2Paralelismo entre recta y plano
- b1 · Plantea la distancia desde un punto de la recta0,4/2Planteamiento de la distancia
- b1 · Calcula la distancia0,4/2Resolución (b1)
- b2 · Elige los dos vectores directores del plano0,6/2Cada vector director (0,3+0,3)
- b2 · Toma un punto del plano0,2/2Punto del plano
- b2 · Escribe la ecuación del plano y compruébala0,2/2Respuesta correcta (b2)
Los criterios son los oficiales del examen. Los pasos y las explicaciones son nuestros.
Ejercicios de geometría en el espacio
- Madrid 2026 · Ordinaria · 32 puntosDados el plano π: 2x + 2y − z = 13 y la recta r ≡ (x−2)/1 = y/1 = z/4.
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 32 puntosSea r la recta que pasa por A(1, 2, −5) y B(2, 4, −11), sea s la recta dada por la intersección de los planos x − 2y + 3z = 3, x − y = 0, y sea t la recta paralela a s que pasa por C(1, 0, 0).
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 4.12 puntosSean las rectas r₁ ≡ (x, y, z) = (1 + t, 1, 0) y r₂ ≡ (x, y, z) = (1 + s, s, 0), t, s ∈ ℝ.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 4.22 puntosSe consideran el punto P(1, 2, 1) y el plano de ecuación 2x − 2y + z = 1. Se traza un cubo con una cara en el plano y un vértice en el punto P.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · incidencias · 4.12 puntosSean la recta r ≡ (x, y, z) = (1 + t, 1 + t, 1 + t), t ∈ ℝ, y el plano π : x + y + z = 0.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · incidencias · 4.22 puntosSea la recta r ≡ (x, y, z) = (t, 1, t), t ∈ ℝ. Se pide:
- Madrid 2025 · Ordinaria · 3.12,5 puntosDados la recta r ≡ (x − 1)/2 = y/0 = (z − 2)/1 y el plano π: x + 2y − 3z = 1, se pide:
- Madrid 2025 · Ordinaria · 3.22,5 puntosSean el punto P(0, 1, 1) y el plano π: x + y = 2. Se pide:
- Madrid 2025 · Ordinaria · incidencias · 32,5 puntosSara está revisando una estructura de vigas metálicas. Para ello, utiliza un programa de cálculo estructural que lleva integrado un módulo de diseño asistido por ordenador. El programa trata las vigas como segmentos entre dos puntos. Cuando dos segmentos comparten algún punto, se fijan simulando una soldadura. Para introducir un segmento basta indicar las coordenadas de los extremos del mismo. Sara se ha dado cuenta de que una parte de la estructura no es lo suficientemente resistente. En concreto, ha encontrado dos vigas, no soldadas entre sí, que deben reforzarse, por lo que decide añadir otra viga que, soldándola a ambas, solucione el problema. Las dos vigas en cuestión son V₁, cuyos extremos son los puntos A(1, 2, −3) y B(1, 6, 1), y V₂, cuyos extremos son los puntos C(−2, −8, 7) y D(10, −4, 7).
- Madrid 2025 · Extraordinaria · 3.12,5 puntosSean los puntos A(1, 1, 2), B(2, −1, 0), C(−2, 0, 3) y D(2, −3, −1) y la recta r ≡ (x − 1)/2 = y + 1 = z/(−1).
- Madrid 2025 · Extraordinaria · 3.22,5 puntosDados los puntos A(0, 0, 1) y B(1, 0, 1), se pide:
- Madrid 2027 · Modelo · 12 puntosDos rectas r y s en un mismo plano π se cortan perpendicularmente en un punto C. La recta r está determinada por los puntos P(1, 0, 2) y Q(0, 2, 4) y la recta s está determinada por A(0, 4, 2) y el punto C.
- Madrid 2026 · Modelo · 12 puntosUn equipo de ingenieros está trabajando en un nuevo modelo de dron para tomar fotografías del estado del tráfico. Elegido un sistema de coordenadas, el dron tiene A(1, 0, 2) como punto de partida y un cierto tramo de autopista está contenido en el plano π: x + y + 2z + 1 = 0. Las fotografías se deben tomar perpendicularmente al plano π. Se toma el punto C(0, −3, 1) de π para calibrar el dron.
- Madrid 2025 · Modelo · 3.12,5 puntosSean los puntos A(0, 0, 0) y B(1, 1, 1), y la recta r ≡ (x, y, z) = (λ, λ, λ + 1), λ ∈ ℝ.
- Madrid 2025 · Modelo · 3.22,5 puntosDados los tres planos π₁: −2x − 2y + z = 0; π₂: −2x + y − 2z = 0 y π₃: x − 2y − 2z = 0, se pide:
Otros años · aún sin clasificar por temas
- 2024Ordinaria y ExtraordinariaOrdinaria de 2024: PDF oficialExtraordinaria de 2024: PDF oficialSolo PDF oficial
Errores que más puntos quitan
Ordenados por lo que vale el criterio que te juegas.
Planteamiento del apartado c) · 0,5
En el apartado c) es frecuente dar por hecho que π corta los tres ejes y buscar un tercer punto en el eje Z. Al hacer x = y = 0 la ecuación queda 0 = 2, que no tiene solución: el plano es paralelo al eje Z. Si fuerzas un punto ahí, el triángulo deja de ser el del enunciado y se pierde el planteamiento. Antes de calcular, comprueba cada corte y quédate con P y los dos puntos que existen.
Madrid 2025 · Ordinaria · 3.2: ver el ejercicioPlanteamiento del apartado a) · 0,5
En el apartado a) muchos alumnos ven que A y B tienen la misma z y dan el plano z = 1. Pasa por los dos puntos, pero su normal es (0, 0, 1), la dirección del eje OZ: ese plano es perpendicular al eje, no paralelo. Un plano paralelo a OZ tiene la normal perpendicular a (0, 0, 1); comprueba siempre n·(0, 0, 1) = 0 antes de dar el plano.
Madrid 2025 · Extraordinaria · 3.2: ver el ejercicioPlanteamiento · 0,5
Es habitual usar la misma fórmula que para el ángulo entre dos vectores y quedarse con el coseno del ángulo entre CA′ y la normal de π. Ese es el ángulo con la normal (≈ 61,29°), no con el plano: los dos son complementarios. Con el vector normal, la fórmula del ángulo entre recta y plano lleva el seno; si prefieres el coseno, úsalo con la proyección de la recta sobre el plano.
Madrid 2026 · Modelo · 1: ver el ejercicio
Corregir con foto · muy pronto
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Ejercicios resueltos de la PAU de Madrid, agrupados por lo que te preguntan. Todos los exámenes.
Preguntas frecuentes
Sobre geometría en el espacio en Matemáticas II de Madrid.
¿Cuánto valen los ejercicios de geometría en el espacio en la PAU de Madrid?
En los exámenes resueltos de Matemáticas II: la 3 de la ordinaria de 2026 (2 puntos), la 3 de la ordinaria · incidencias de 2026 (2 puntos), la 4.1 de la extraordinaria de 2026 (2 puntos), la 4.2 de la extraordinaria de 2026 (2 puntos), la 4.1 de la extraordinaria · incidencias de 2026 (2 puntos) y la 4.2 de la extraordinaria · incidencias de 2026 (2 puntos). Las preguntas con número 4.1, 5.2… son optativas: eliges una de las dos de su grupo.
¿Qué entra en geometría en el espacio?
Rectas y planos, productos vectorial y mixto, posiciones relativas, distancias, ángulos, proyecciones y simetrías.
¿Puedo corregirme un ejercicio de geometría en el espacio?
Todavía no con foto: corregir con foto abre muy pronto. Mientras tanto, compara tu folio con la solución paso a paso de los 15 ejercicios resueltos de esta página y márcate con los criterios oficiales.
¿Hay ejercicios de geometría en el espacio de otros años?
Sí, pero aún no los hemos resuelto ni clasificado por temas. De 2024 tienes el PDF oficial de la universidad en la página de Matemáticas II de Madrid.